<link rel="stylesheet" href="/css/style.css">
<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jquery/3.3.1/jquery.min.js"></script>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/js-cookie@2/src/js.cookie.min.js"></script>
<script src="/js/google-translate.js"></script>
<script src="//translate.google.com/translate_a/element.js?cb=TranslateInit"></script>

Содержимое style.css:

body {
    margin: 0;
    padding: 0;
}

.page {
    display: flex;
    min-height: 100vh;
}

/* Фиксируем позицию body, которую меняет панель гугла*/

.page_fix {
    top: 0 !important;
    position: static !important;
}

/* Прячем панель гугла */

.skiptranslate {
    display: none !important;
}

/* language */

.language {
    position: fixed;
    left: 10px;
    top: 50%;
    transform: translateY(-50%);
    display: flex;
    flex-direction: column;
}

.language__img {
    margin: 2px;
    cursor: pointer;
    opacity: .5;
}

.language__img:hover,
.language__img_active {
    opacity: 1;
}

/* content */

.content {
    text-align: center;
    margin: auto;
}

Используемые флаги:

    

Разметка кастомного виджета:

<div class="language">
        <img src="images/lang/lang__ru.png" alt="ru" data-google-lang="ru" class="language__img">
        <img src="images/lang/lang__en.png" alt="en" data-google-lang="en" class="language__img">
        <img src="images/lang/lang__de.png" alt="de" data-google-lang="de" class="language__img">
        <img src="images/lang/lang__fr.png" alt="fr" data-google-lang="fr" class="language__img">
        <img src="images/lang/lang__pt.png" alt="pt" data-google-lang="pt" class="language__img">
    </div>

Содержимое google-translate.js:

const googleTranslateConfig = {
    lang: "ru",
};

function TranslateInit() {

    let code = TranslateGetCode();
    // Находим флаг с выбранным языком для перевода и добавляем к нему активный класс
    $('[data-google-lang="' + code + '"]').addClass('language__img_active');

    if (code == googleTranslateConfig.lang) {
        // Если язык по умолчанию, совпадает с языком на который переводим
        // То очищаем куки
        TranslateClearCookie();
    }

    // Инициализируем виджет с языком по умолчанию
    new google.translate.TranslateElement({
        pageLanguage: googleTranslateConfig.lang,
    });

    // Вешаем событие  клик на флаги
    $('[data-google-lang]').click(function () {
        TranslateSetCookie($(this).attr("data-google-lang"))
        // Перезагружаем страницу
        window.location.reload();
    });
}

function TranslateGetCode() {
    // Если куки нет, то передаем дефолтный язык
    let lang = ($.cookie('googtrans') != undefined && $.cookie('googtrans') != "null") ? $.cookie('googtrans') : googleTranslateConfig.lang;
    return lang.substr(-2);
}

function TranslateClearCookie() {
    $.cookie('googtrans', null);
    $.cookie("googtrans", null, {
        domain: "." + document.domain,
    });
}

function TranslateSetCookie(code) {
    // Записываем куки /язык_который_переводим/язык_на_который_переводим
    $.cookie('googtrans', "/auto/" + code);
    $.cookie("googtrans", "/auto/" + code, {
        domain: "." + document.domain,
    });
}

При смене языка добавляется куки с ключом googtrans и значением вида /ru/en

• /ru — это язык который переводим
• /en — это язык на который переводим

const googleTranslateConfig = {
    lang: "ru",
};